如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A 1 B 1 - 知识问答

如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，P是AC与BD的交点，M是CC 1 的中点．

1个回答

（1）证明：如图，以D为坐标原点，向量
，
，
为单位正交基向量，
建立空间直角坐标系D﹣xyz．则P（
，
，0），M（0，1，
）．
=（﹣
，
，﹣1），
=（1，1，0），
=（0，1，
），
所以
=0，
=0．
所以
又因为BD∩DM=D，
所以A₁P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取
=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．
又
=（﹣1，1，
），
所以cos＜
，
＞=
所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为
．
（3）
=（0，1，0），
=（﹣1，0，
）．
设₁=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，
则
解得
即
，故可取₁=（1，0，2）．
由（1）可知，可取
=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．
所以cos＜
，₁＞=
=
．
所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为
．

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