Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f

Answer 1

（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），

∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），

∴f（1）=0．

设x ₁，x ₂∈（0，+∞）且x ₁＜x ₂，

则

x 2

x 1 ＞1，

∴f（

x 2

x 1 ）＞0，

∴f（x ₁）-f（x ₂）=f（x ₁）-f（

x 2

x 1 •x ₁）=f（x ₁）-f（

x 2

x 1 ）-f（x ₁）=-f（

x 2

x 1 ）＜0

∴f（x ₁）＜f（x ₂），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（2）令x=

1

3 ，y=1得，f（

1

3 ×1）=f（

1

3 ）+f（1），∴f（1）=0．

令x=3，y=

1

3 得，f（1）=f（3×

1

3 ）=f（3）+f（

1

3 ），

∵f（

1

3 ）=-1，∴f（3）=1．

令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，

∴f（x）-f（

1

x-2 ）＞f（9），f（x）＞f（

9

x-2 ）

∴

x＞0

x-2＞0

x(x-2)＞9 ，

解得x＞1+

10 ．

∴x的取值范围为（1+

10 ，+∞）