Question

如图（1），直线y=kx-k2（k为常数，且k＞0）与y轴交于点C，与抛物线y=ax2有唯一公共点B，点B在x轴上的正投

Answer 1

（1）∵直线y=kx-k²与抛物线y=ax²有唯一公共点B，

∴kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有两个相等的实数根，

∴（-k）²-4ak²=0，而k＞0，

∴a=[1/4]，

∴y=[1/4]x²；

（2）存在实数k，使得经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B，

∵

y＝kx−k2

y＝

1

4x2的解为

x＝2k

y＝k2，

∴点B的坐标为（2k，k²），

又∵点B在x轴上的正投影为点E，连接BE，

则BE⊥x轴于E，

∴E（2k，0），

∴DE⊥OB，DF=EF=OF，

连接OB、DE，则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径，

∴Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），

∴BE=DO，

∵D（0，4），

∴k²=4，

∴k=2（k＞0）；

（3）结论②∠EAM=∠ACF成立，

对y=kx-k²，令y=0，得x=k，

∴A（k，0），

∴OA=k，

令x=0，得y=-k²，

∴C（0，-k²），

∴OC=k²，

又∵F（0，1），

∴OF=1，

∴OA²=OF•OC，

∴[OA/OF＝

OC

OA]，

又∵∠FOA=∠AOC=90°，

∴△AFO∽△CAO，

∴∠FAO=∠ACF，而∠FAO=∠EAM，

∴∠EAM=∠ACF．