图一
在图一中,D ABC 为一直角三角形,其中 Ð A 为直角.我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH.过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L,交 BC 於 M.不难证明,D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）.所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积.类似地,正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积.即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积,亦即是 AB2 + AC2 = BC2.由此证实了勾股定理.
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行.不单如此,它更具体地解释了,「两条直角边边长平方之和」的几何意义,这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分!
这个证明的另一个重要意义,是在於它的出处.这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手.
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年,卒於约公元前 265 年.他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作,并完成了著作《几何原本》.《几何原本》是一部划时代的著作,它收集了过去人类对数学的知识,并利用公理法建立起演绎体系,对后世数学发展产生深远的影响.而书中的第一卷命题 47,就记载著以上的一个对勾股定理的证明.
证明二
图二
图二中,我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内,留意大正方形中间的浅黄色部分,亦都是一个正方形.设直角三角形的斜边长度为 c,其余两边的长度为 a 和 b,则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和,所以我们有
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化简得 a2 + b2 = c2
由此得知勾股定理成立.
证明二可以算是一个非常直接了当的证明.最有趣的是,如果我们将图中的直角三角形翻转,拼成以下的图三,我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理,方法如下：
图三
由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化简得 c2 = a2 + b2（定理得证）
图三的另一个重要意义是,这证明最先是由一个中国人提出的!据记载,这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽.赵爽为《周髀算经》作注释时,在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图,亦即是上面图三的图形了.
证明三
图四
图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形.不难看出,整个图就变成一个梯形.利用梯形面积公式,我们得到∶
1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）
有一些书本对证明三十分推祟,这是由於这个证明是出自一位美国总统之手!
在 1881 年,加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统,可惜在当选后 5 个月,就遭行刺身亡.至於勾股定理的有关证明,是他在 1876 年提出的.
我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处,它其实和证明二一样,只不过它将证明二中的图形切开一半罢了!更何况,我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单!
又,如果从一个老师的角度来看,证明二和证明三都有一个共同的缺点,它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了.虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中,但有很多学生都未能完全掌握,由於以上两个证明都使用了它,往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题.
证明四
(a) (b) (c)
图五
证明四是这样做的：如图五(a),我们先画一个直角三角形,然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形,为了清楚起见,以红色表示.又在另一条直角边下面加上另一个正方形,以蓝色表示.接著,以斜边的长度画一个正方形,如图五(b).我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和,刚好等於以斜边画出来的正方形面积.
留意在图五(b)中,当加入斜边的正方形后,红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围.现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来.同时,在斜边正方形内,却有一些部分未曾填上颜色.现在依照图五(c)的方法,将超出范围的三角形,移入未有填色的地方.我们发现,超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方!由此我们发现,图五(a)中,红色和蓝色两部分面积之和,必定等於图五(c)中斜边正方形的面积.由此,我们就证实了勾股定理.
这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的.在魏景元四年（即公元 263 年）,刘徽为古籍《九章算术》作注释.在注释中,他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理.由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分,又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满,所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」.亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理.
在历史上,以「出入相补」的原理证明勾股定理的,不只刘徽一人,例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲,都有出现过类似的证明,只不过他们所绘的图,在外表上,或许会和刘徽的图有些少分别.下面的图六,就是将图五(b)和图五(c)两图结合出来的.留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面.看一看图六,我们曾经见过类似的图形吗?
图六
其实图六不就是图一吗?它只不过是将图一从另一个角度画出罢了.当然,当中分割正方形的方法就有所不同.
顺带一提,证明四比之前的证明有一个很明显的分别,证明四没有计算的部分,整个证明就是单靠移动几块图形而得出.我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」,不过,我自己就非常喜欢这些「无字证明」了.
图七
在多种「无字证明」中,我最喜欢的有两个.图七是其中之一.做法是将一条垂直线和一条水平线,将较大直角边的正方形分成 4 分.之后依照图七中的颜色,将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中,便可完成定理的证明.
事实上,以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多,但在这裏就未有打算将它们一一尽录了.
另一个「无字证明」,可以算是最巧妙和最简单的,方法如下：
证明五
(a) (b)
图八
图八(a)和图二一样,都是在一个大正方形中,放置了4个直角三角形.留意图中浅黄色部分的面积等於 c2.现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位,成为图八(b).明显,图八(b)中两个浅黄色正方形的面积之和应该是 a2 + b2.但由於(a)、(b)两图中的大正方形不变,4 个直角三角形亦相等,所以余下两个浅黄色部的面积亦应该相等,因此我们就得到 a2 + b2 = c2,亦即是证明了勾股定理.
对於这个证明的出处,有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明,因而宰杀了一百头牛来庆祝.总之,我觉得这是众多证明之中,最简单和最快的一个证明了.
不要看轻这个证明,它其实包含著另一个意义,并不是每一个人都容易察觉的.我现在将上面两个图「压扁」,成为图九：
(a) (b)
图九
图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形,它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b),其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度.而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形,其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b).正如上面一样,(a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的,所以将两式结合并消去共有的倍数,我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,这就是三角学中最重要的复角公式!原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的!
在证明二中,当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后,我提出了赵爽的「弦图」,这是一个展开 (a - b)2 的方法.而证明五亦有一个相似的情况,在这裏,我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外,我们亦有一个类似 (a - b) 的「无字证明」.这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的,见图十.
(a) (b)
图十
证明六
图十一
图十一中, 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分,其中 Ð C 为直角,D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB.设 a = CB,b = AC,c = AB,x = BD,y = AD.留意图中的三个三角形都是互相相似的,并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA,所以
= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy
将两式结合,得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2.定理得证.
证明六可以说是很特别的,因为它是本文所有证明中,唯一一个证明没有使用到面积的概念.我相信在一些旧版的教科书中,也曾使用过证明六作为勾股定理的证明.不过由於这个证明需要相似三角形的概念,而且又要将两个三角形翻来覆去,相当复杂,到今天已很少教科书采用,似乎已被人们日渐淡忘了!
可是,如果大家细心地想想,又会发现这个证明其实和证明一（即欧几里得的证明）没有分别!虽然这个证明没有提及面积,但 a2 = cx 其实就是表示 BC 上正方形的面积等於由 AB 和 BD 两边所组成的长方形的面积,这亦即是图一中黄色的部分.类似地,b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分.由此看来,两个证明都是依据相同的原理做出来的!
证明七
(a) (b) (c)
图十二
在图十二(a)中,我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚麼直接的关系,但由於两个相似图形面积之比等於它们对应边之比的平方,而任何正方形都相似,所以我们知道面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2.
不过,细心地想想就会发现,上面的推论中,「正方形」的要求是多余的,其实只要是一个相似的图形,例如图十二(b)中的半圆,或者是图十二(c)中的古怪形状,只要它们互相相似,那麼面积 I : 面积 II : 面积 III 就必等於 a2 : b2 : c2了!
在芸芸众多的相似图形中,最有用的,莫过於与原本三角形相似的直角三角形了.