Question

（2010•浙江）已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值

Answer 1

f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，

令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，

则△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，

于是，假设x₁，x₂是g（x）=0的两个实根，且x₁＜x₂．

（1）当x₁=a或x₂=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．

（2）当x₁≠a且x₂≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x₁＜a＜x₂．

即g（a）＜0

即a²+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0

所以b＜-a

所以b的取值范围是：（-∞，-a）

（2）由（1）可知，假设存在b及x₄满足题意，则

③当x₂-a=a-x₁时，则x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．

此时x₄=2x₂-a=a-b-3+

(a+b−1)2+8-a=a+2

6，

或x₄=2x₁-a=a-b-3-

(a+b−1)2+8-a=a-2

6，

④当x₂-a≠a-x₁时，则x₂-a=2（a-x₁）或a-x₁=2（x₂-a），

（ⅰ）若x₂-a=2（a-x₄），则x₄=

a+x2

2，于是3a=2x₁+x₂=

3(a−b−3)−

(a+b−1)2+8

2，

即

(a+b−1)2+8=-3（a+b+3），于是a+b-1=

−9−