Question

（2012•南京二模）已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2−3＝0有唯一解，则实数a的值为______．

Answer 1

考察函数 f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2−3，可得它在 R 上为偶函数，因此图象关于 y 轴对称．

因为 f（x）=0 有唯一解，因此这个解一定是 x=0，即 f（0）=0，即 （a-1）（a+3）=0．

解得 a=1 或 a=-3．

当 a=1 时，f（x）=x2+2log2(x2+2)−2≥0+2log₂2-2=0，当且仅当x=0时取等号，因此关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2−3＝0有唯一解 x=0．

当 a=-3 时，f（x）=x2−6log2(x2+2)+6，

因为 f（

30）=30-6×5+6=6＞0，f（

14）=14-6×4+6=-4＜0，

因此 f（x）=0 至少有三个根，不满足题意，故把 a=-3舍去．

所以，若方程有唯一解，则 a=1．

故答案为 1．