解题思路：（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-x+c，得f'（x）=3x2+2ax-1．当
x＝
2
3
时，得
a＝f ′(
2
3
)＝3×(
2
3
)
2
+2f ′(
2
3
)×(
2
3
)−1
，由此能求出a的值．
（Ⅱ）因为f（x）=x3-x2-x+c，从而
f ′(x)＝3
x
2
−2x−1＝3(x+
1
3
)(x−1)
，列表讨论，能求出f（x）的单调递增区间和f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x3）•ex=（-x2-x+c）•ex，有g'（x）=（-2x-1）ex+（-x2-x+c）ex=（-x2-3x+c-1）ex，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，等价于h（x）=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，由此能求出实数c的取值范围．
（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-x+c，得f'（x）=3x2+2ax-1．
当x＝
2
3时，得a＝f ′(
2
3)＝3×(
2
3)2+2f ′(
2
3)×(
2
3)−1，
解之，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）因为f（x）=x3-x2-x+c．
从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
1
3)(x−1)，
由f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
1
3)(x−1)=0，得x1＝−
1
3 ，x2＝1，
列表如下：
x (−∞，−
1
3) −
1
3 (−
1
3，1) 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗所以f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −
1
3)和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(−
1
3 ， 1)．…（9分）
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x3）•ex=（-x2-x+c）•ex，
有g'（x）=（-2x-1）ex+（-x2-x+c）ex=（-x2-3x+c-1）ex，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是c≥11．…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查参数值的求法和单调区间的求法及求解实数的取值范围，考查运算求解能力，推导论证能力，考查分类讨论思想，转化化归思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．