Question

已知命题p：点A（x，y）在圆（x-1）2+（y-1）2=1外，若命题p是假命题，则z=x+y的最小值为 ___ ．

Answer 1

解题思路：由命题p：点A（x，y）在圆（x-1）²+（y-1）²=1外，且命题p是假命题，知点A（x，y）在圆（x-1）²+（y-1）²=1内或点A（x，y）在圆（x-1）²+（y-1）²=1上，由此利用线性规划能求出z=x+y的最小值．

∵命题p：点A（x，y）在圆（x-1）²+（y-1）²=1外，

且命题p是假命题，

∴点A（x，y）在圆（x-1）²+（y-1）²=1内或点A（x，y）在圆（x-1）²+（y-1）²=1上，

如图，

斜率为-1的切线m，n与圆有两个切点，其中m与圆的切点使得z取最小值，

n与圆的切点使得z取最大值，

∵O（0，0）与圆心（1，1）的斜率为k=1，

∴m，n与圆的切点分别是O（0，0）与圆心（1，1）的连线y=x与圆（x-1）²+（y-1）²=1的两个交点，

解方程组

y=x

(x-1)2+(y-1)2=1，得（1-

2

2，1-

2

2），（1+

2

2，1+

2

2）

∴在点（1-

2

2，1-

2

2）处，z=x+y取最小值2．

故答案为：2．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用；简单线性规划的应用．

考点点评： 本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意线性规划的合理运用．