解题思路：设
f(n)＝
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1]，确定函数的单调性，求出最小值，即可得到最小自然数t的值，在用数学归纳法加以证明．
设f(n)＝
1
n+1+
1
n+2+
1
n+3+…+
1
3n+1]
∵f(n+1)−f(n)＝(
1
n+2+
1
n+3+…+
1
3n+4)−(
1
n+1+
1
n+2+…+
1
3n+1)=[1/3n+2+
1
3n+3+
1
3n+4−
1
n+1]=[1/3n+2+
1
3n+4−
2
3n+3]=
6n+6
(3n+2)(3n+4)−
2(3n+3)
(3n+3)2＝
6n+6
9n2+18n+8−
2(3n+3)
9n2+18n+9＞0
∴f（n）递增，∴f（n）最小为f(1)＝
1
2+
1
3+
1
4＝
13
12
∵f（n）＞5-2t对一切正整数n都成立，∴5−2t＜
13
12，∴自然数t≥2
∴自然数t的最小值为2 …（7分）
下面用数学归纳法证明[1/n+1+
1
n+2+
1
n+3+…+
1
3n+1＞1
（1）当n=1时，左边=
1
2+
1
3+
1
4＝
13
12＞1，∴n=1时成立
（2）假设当n=k时成立，即
1
k+1+
1
k+2+
1
k+3+…+
1
3k+1＞1
那么当n=k+1时，左边=
点评：
本题考点： 数学归纳法．
考点点评： 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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