解题思路：（1）f′（x）=-2x+a-1x=−2x2+ax−1x（x＞0），由题意可得f（x）既有极大值又有极小值⇔方程2x2-ax+1=0有两个不等的正实数根x1，x2；于是由a2＞0△＝a2−4×(−2)•(−1)＞0即可求得a的取值范围；（2）f′（x）=-2x+a-1x，令g（x）=2x+1x，结合题意可得g（x）在[12，22）上递减，g（x）在（22，2]上递增；从而可求得当x∈[12，2]时，g（x）max=92，g（x）min=22．于是得，若f（x）在[12，2]单调递增，f′（x）≥0即a≥g（x），从而求得a的取值范围；同理可求，若f（x）在[12，2]单调递减时a的取值范围．
（1）∵f′（x）=-2x+a-[1/x]=
−2x2+ax−1
x（x＞0），
∴f（x）既有极大值又有极小值⇔方程2x2-ax+1=0有两个不等的正实数根x1，x2．（3分）
∴
a
2＞0
△＝a2−4×(−2)•(−1)＞0，
∴a＞2
2，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件是a＞2
2．（6分）
（2）f′（x）=-2x+a-[1/x]，令g（x）=2x+[1/x]（x＞0），
则g′（x）=2-[1
x2，由g′（x）＜0结合题意得：g（x）在[
1/2]，
2
2）上递减，
由g′（x）＞0结合题意得：g（x）在（
2
2，2]上递增．（8分）
又g（[1/2]）=3，g（2）=[9/2]，g（
2
2）=2
2，
∴g（x）max=[9/2]，g（x）min=2
2．（10分）
若f（x）在[[1/2]，2]单调递增，则f′（x）≥0即a≥g（x），
∴a≥[9/2]．
若f（x）在[[1/2]，2]单调递减，则f′（x）≤0，即a≤g（x），
∴a≤2
2．
所以f（x）在[[1/2]，2]上单调时，则a≤2
2或a≥[9/2]．（13分）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查构造函数的思想，转化与分类讨论的思想，考查恒成立问题，综合性强，难度大，属于难题．