Question

（2013•嘉定区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，且BC2=CD•CA．

Answer 1

解题思路：（1）根据BC²=CD•CA，∠ACB=∠BCD，得出△ACB∽△BCD，即可证出∠A=∠CBD；

（2）根据∠A=∠CBD，∠A=α，得出∠CBD=α，根据cot∠A=[AC/BC]，得出AC=BC•cotα=2•cotα，再根据tan∠CBD=[CD/BC]，得出CD=BC•tanα=2tanα，即可得出AD=AC-CD=2cotα-2tanα；

（1）∵BC²=CD•CA，

∴[BC/CD]=[CA/BC]，

∵∠ACB=90°，点D在AC边上，

∴∠ACB=∠BCD，

∴△ACB∽△BCD，

∴∠A=∠CBD；

（2）∵∠A=∠CBD，∠A=α，

∴∠CBD=α，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=α，

∵cot∠A=[AC/BC]，

∴AC=BC•cotα=2•cotα，

在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=α，BC=2，

∵tan∠CBD=[CD/BC]，

∴CD=BC•tanα=2tanα，

∴AD=AC-CD=2cotα-2tanα；

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是证出△ACB∽△BCD，根据解直角三角形求出AC和CD的值．