Question

证明：正数的几何平均值小于等于算术平均值

Answer 1

用归纳法证明,当n=2时,显然有书的式子成立

假设当n=k时,成立,则有(a1+a2+...+an)/n>=(a1a2...an)^1/n

即(a1+a2+...+an)＾n>=n(a1a2...an)

现在只要证明到当n=k+1时成立即可

当n=k+1时

(a1+a2+...+an＋a(n+1))＾(n+1)=(a1+a2+...+a(n+1))(a1+a2+...+a(n+1))^n

>=(a1+a2+...+an)(a1+a2+...+a(n+1))^n+a(n+1)(a1+a2+...+a(n+1))^n>=na1a2...ana(n+1)+a1a2...ana(n+1)=(n+1)a1a2...ana(n+1)

所以成立