Question

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0（1）求m与n的关系式；

Answer 1

（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．

因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．

所以n=3m+6；…（3分）

（2）由（1）知，f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+[2/m]）]…（5分）

当m＜0时，有1＞1+[2/m]，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+[2/m]）单调递减，在（1+[2/m]，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减

同理可得：当m＞0时，f（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，1+[2/m]）单调递减，在（1+[2/m]，+∞）上单调递增．…（9分）

（3）设函数h（x）=）=（[1/e]x²ge^x-[1/3]x³-x²）-（[2/3]x³-x²）=x²g（e^x-1-x）

由x²≥0，且（e^x-1-x）′=e^x-1-1，故x≥1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1≥0

令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x≥1为增函数，故m（x）≥m（1）≥0

所以h（x）在[1，+∞），h（x）≥0，故g（x）≥φ（x）

当x＜1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1＜0

令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x＜1为减函数，故m（x）＜m（1）＜0

所以h（x）在[1，+∞），h（x）＜0，故g（x）＜φ（x）

综上，x≥1时，g（x）≥φ（x），x＜1时，g（x）＜φ（x） …（14分）