Question

过定点P（1，4）作直线交抛物线C：y=2x2于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交于点M，则点M的轨迹方程为__

Answer 1

解题思路：设直线AB方程为y-4=k（x-1），联立直线方程与y=2x²得2x²-kx+k-4=0，进而设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理表示x₁+x₂与x₁x₂，设过A、B分别作抛物线C的切线分别为L₁、L₂，结合题意表示L1、L2的方程，联立L1、L2方程得M的坐标，分析可得答案．

设直线AB方程为y-4=k（x-1）；

联立直线方程与y=2x²得：2x²-kx+k-4=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由韦达定理得x₁+x₂=[k/2]，x₁x₂=[k−4/2]

∵y=2x²

∴f′（x）=4x，

设过A、B分别作抛物线C的切线分别为L1、L2

则k_L1=4x₁，k_l2=4x₂

∴L1方程为y-2x₁²=4x₁（x-x₁），即y=4x₁x-2x₁²

同理，L2方程为y=4x₂x-2x₂²

联立L1、L2方程得：

x_M=

x1+x2

2，y_M=2x₁x₂

又x₁+x₂=[k/2]，x₁x₂=[k−4/2]

∴x_M=[k/4]，y_M=k-4

∴y_M=4x_M-4

∴M的轨迹方程为y=4x-4；

故答案为：y=4x-4．

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质；轨迹方程．

考点点评： 本题考查了轨迹方程的求法，表示出直线AB的方程是解决此题的关键．