Question

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

Answer 1

证明：（1）DE为x，则DM=1，EM=EA=2-x，

在Rt△DEM中，∠D=90°，

∴DE²+DM²=EM²

x²+1²=（2-x）²

x=[3/4]，

∴EM=[5/4]．

（2）设正方形的边长为2，由（1）知，DE=[3/4]，DM=1，EM=[5/4]

∴DE：DM：EM=3：4：5；

（3）△CMG的周长与点M的位置无关．

证明：设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，

∵∠EMG=90°，

∴∠DME+∠CMG=90°．

∵∠DME+∠DEM=90°，

∴∠DEM=∠CMG，

又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，

∴[CG/DM＝

CM

DE＝

MG

EM]即[CG/x]=[2a−x/y]=[MG/2a−y]，

∴CG=

x(2a−x)

y，MG=

(2a−x)(2a−y)

y，

△CMG的周长为CM+CG+MG=

4a2−x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²

即x²+y²=（2a-y）²

整理得4a²-x²=4ay，

∴CM+MG+CG=[4ay/y]=4a．

所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．