解题思路：由梯形ABCD可知AD∥BC，得出△OAD与△OBC是相似，因为AD=3厘米，BC=9厘米，所以AD：BC=AO：OA=3：9=1：3；
根据高一定时，三角形的面积与底成正比的关系，可求出△OBC的面积，再根据△OAD与△OBC是相似求出△OAD的面积；
根据等底等高的三角形的面积相等可得出S△ABC=S△BCD，再都减去△BCO的面积，所以S△ABO=S△CDO，进而求出梯形ABCD的面积．
由题意可知：
因为AD∥BC
所以△OAD与△OBC是相似，
又因为AD=3厘米，BC=9厘米，
所以AD：BC=AO：OC=3：9=1：3；
根据高一定时，三角形的面积与底成正比的关系，
得出S△ABO：S△BCO=AO：OC=1：3，
又因为S△ABO=12平方厘米，
所以S△BCO=12×3=36平方厘米；
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质得：
S△ADO：S△BCO=AD2：BC2=32：92=1：9，
所以S△ADO=36÷9=4平方厘米；
根据等底等高的三角形的面积相等可得出：
S△ABC=S△BCD，
所以S△ABO=S△CDO=12平方厘米；
所以梯形ABCD的面积=12×2+4+36=64平方厘米；
答：梯形ABCD的面积是64平方厘米．
点评：
本题考点： 三角形面积与底的正比关系．
考点点评： 此题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质和高一定时，三角形的面积与底成正比的关系的灵活应用．