若a、b、c均为实数且a=x2-2y+1,b=y2-2z+2,c=z2-2x+2.求证:a、b、c中至少有一个大于0.

1个回答

  • 解题思路:假设a,b,c均不大于0,由条件和不等式的性质可以推出矛盾,可得假设不正确,从而命题得证.

    证明:假设a,b,c均不大于0,即x2-2y+1≤0,y2-2z+2≤0,z2-2x+2≤0,…(4分)

    由不等式的可加性得:x2-2y+1+y2-2z+2+z2-2x+2≤0,…(8分)

    即(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+2≤0,…(10分)

    这显然不成立,故假设不正确,所以,a、b、c中至少有一个大于0. …(12分)

    点评:

    本题考点: 反证法与放缩法.

    考点点评: 本题主要考查用反证法证明数学命题,推出矛盾,是解题的关键和难点,属于中档题.