解题思路：函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax3-3x+1≥0恒成立，分x=0，0＜x≤1，-1≤x＜0三种情况进行讨论，其中x=0时易知a的范围，另两种情况分离出参数a后转化为函数最值即可解决，而最值可用导数求出．
函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax3-3x+1≥0恒成立，
①当x=0时，显然ax3-3x+1≥0成立，此时a∈R；
②当0＜x≤1时，ax3-3x+1≥0即a≥[3x−1
x3，等价于a≥(
3x−1
x3)max，
令f（x）=
3x−1
x3，则f′（x）=
3−6x
x4，
当0＜x＜
1/2]时，f′（x）＞0，f（x）递增；当[1/2＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）max=f（
1
2]）=
3
2−1
1
8=4，
∴a≥4；
③当-1≤x＜0时，ax3-3x+1≥0即a≤
3x−1
x3，等价于a≤(
3x−1
x3)min，
此时f（x）=
3x−1
x3，f′（x）=
3−6x
x4＞0，f（x）递增，
∴f（x）min=f（-1）=
−3−1
(−1)3=4，
∴a≤4；
综上所述，a=4．
故选D．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，考查恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决的能力．