Question

柯西数列有界性的证明,类似收敛数列,谢

Answer 1

柯西数列满足：对任意正数ε,存在正整数N,当n,m＞N时,有|an-am|＜ε.

令ε=1,则存在正整数N,当m=N+1及n＞N时,有|an-a(N+1)|＜1.所以|an|≤|an-a(N+1)|+|a(N+1)|=

|a(N+1)|+1 取M=max{|a1|,|a2|,……,|aN|,|a(N+1)|+1},则对任意n∈N+,都有|an|≤M.所以数列{an}有界.