Question

数列&函数·问题设函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+

Answer 1

令x=0y=0的f(1)=f(0)*f(0)-f(0)-0+2

f(1)=2

令y=1得f(x+1)=f(x)*f(1)-f(1)-x+2

f(x+1)=2f(x)-x

令x=1得f(y+1)=f(y)*f(1)-f(y)-1+2

f(y+1)=f(y)+1

令y=x的f(x+1)=f(x)+1

两式相减的

f(x)=x+1

a(n+1)=3an+3-1

a(n+1)=3an+2

a(n+1)+1=3(an+1)

an+1=3(a(n-1)+1)

an+1=(a1+1)*3^(n-1)

an=2*3^(n-1)-1

sn=2(1-3^n)/(1-3)-n

sn=3^n-n-1