Question

已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图所示），E是边AB上的一个动点，MF⊥ME，交射线CD于点F，AB=4，

Answer 1

解题思路：（1）证△BEM∽△CMF，推出[BE/CM]=[BM/CF]，代入求出xy=4即可；

（2）根据勾股定理求出x+y=EF，代入即可求出答案；

（3）分为两种情况：①F在线段CD上时，求出y=3，x=[4/3]，EF=x+y═[13/3]，过A作AN⊥EF于N，根据面积公式求出即可；

①当F在CD的延长线上时，求出y=5，x=[4/5]，EF=x+y=[29/5]，过A作AN⊥EF于N，根据面积公式求出即可．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∵EM⊥FM，

∴∠EMF=90°，

∴∠BEM+∠BME=90°，∠BME+∠CMF=90°，

∴∠BEM=∠FMC，

∴△BEM∽△CMF，

∴[BE/CM]=[BM/CF]，

∵BM=CM=[1/2]BC=[1/2]×4=2，BE=e，CF=y，

∴xy=4

x的取值范围是0＜x≤4；

（2）不变，

理由是：∵根据勾股定理得：EM²=BE²+BM²=x²+2²=x²+4，FM²=y²+4，

∴EF²=EM²+FM²=x²+4+y²+4=x²+y²+8，

∵xy=4，

∴EF²=（x+y）²，

∴EF=x+y，

∴四边形AEFD的周长是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12．

（3）分为两种情况：①F在线段CD上时，如图备用图，

∵DC=AB=AD=4，DF=1，

∴y=4-1=3，x=[4/y]=[4/3]，EF=x+y=3+[4/3]=[13/3]，

过A作AN⊥EF于N，

则S_△AEF=S_梯形AEFD-S_△ADF=[1/2]（3+4-[4/3]）×4-[1/2]×4×1=[1/2]EF×AN，

∴AN=[8/3]；

②当F在CD的延长线上时，如图，

∵DC=AB=AD=4，DF=1，

∴y=4+1=5，x=[4/5]，EF=x+y=[29/5]，

过A作AN⊥EF于N，

则S_△AEF=S_{正方形ABCD}+S_△ADF-S_梯形BEFC=4×4+[1/2]×4×1-[1/2]×（[4/5]+5）×4=[1/2]EF×AN，

∴AN=[29/64]．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评： 本题考查了三角形面积、梯形面积、正方形面积，正方形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．