解题思路：（Ⅰ）求出f′（x），函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而可转化为函数的最值问题解决；
（Ⅱ）根据f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f（[a+b/b]）＞f（1），从而可证明[1/a+b＜ln
a+b
b]；构造函数g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函数，可得x＞1时g（x）＞g（1），由此可证明ln[a+b/b]＜[a+b/b]．
（Ⅰ）f′(x)＝
ax−1
ax2，a＞0，
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f′(x)＝
ax−1
ax2≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥
1
x对x∈[1，+∞）恒成立，
a≥(
1
x)max＝1，即a≥1．
故正实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知，f(x)＝
1−x
ax+lnx在[1，+∞）上是增函数，
所以f(
a+b
b)＞f(1)＝0，即
1−
a+b
b
a•
a+b
b+ln
a+b
b＞0，即ln
a+b
b＞
1
a+b．
另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-[1/x]=[x−1/x]＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln[a+b/b]＜[a+b/b]．
综上，[1/a+b]＜ln[a+b/b]＜[a+b/b]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数与函数单调性的关系以及应用导数证明不等式问题．f′（x）≥0（不恒为0）是可导函数f（x）在某区间上递增的充要条件．
1年前
3
回答问题，请先
登录
·
注册
可能相似的问题
已知函数 f(x)= 1 x +ax+lnx ， g(x)= a+1 x +3lnx，(a∈R) ．
1年前
1个回答
已知函数f(x)＝12x2−ax+lnx在（0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（ ）
1年前
1个回答
（2012•广东模拟）已知函数f（x）=ax•lnx+b（a，b∈R），在点（e，f（e））处的切线方程是2x-y-e=
1年前
1个回答
已知a>0,函数f(x)=(1-x)/ax +lnx在(1,+∞)上是增函数,设b>0,求证:1/(a+b)
1年前
1个回答
已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．
1年前
1个回答
已知函数f(x)=1-x/ax+lnx.(1)若函数f(x)在〔1,+§)上为增函数,求正实数a的取值范围.
1年前
1个回答
（2013•莱芜二模）已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．
1年前
1个回答
已知函数f(x)=(1-x)/ax+lnx,且a为正实数,当a=1时,求f(x)在[1/2,2]上的最大值和最小值
1年前
1个回答
已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间（Ⅱ）若不等式g(x)＜x?mx有
1年前
1个回答
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），
1年前
1个回答
已知函数f（x）=ax+lnx其中a为常数.
1年前
1个回答
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
1年前
1个回答
已知函数f（x）=ax+lnx（a为常数）（1）当a=1时求函数fx的最值.主要是第二问!
1年前
1个回答
已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R
1年前
1个回答
（2014•潍坊模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且g（0）g′（1）=e，其
1年前
1个回答
你能帮帮他们吗
春晚名句：“像你这种站起来就像没有站起来的人都站了起来,我还有什么理由不站起来?”求英文翻译!
1年前
1个回答
氯气通入冷水中.氯气通入冷水中：Cl2+H2O=Cl-+ClO-+2H+ 为什么强调冷水,热水会怎么样
1年前
1个回答
三纲五常是什么?
1年前
1个回答
已知a>b,c>d,且c、d不为0,则不等式成立的是：A：ad>bc B:ac>bd C:a-c>b-d D:a+c>b
1年前
悬赏5滴雨露
1个回答
KB代表什么意思
1年前
悬赏15滴雨露
3个回答
精彩回答
现代文阅读。 卢进勇（A）地把手插进那湿漉漉的衣服。他觉得那同志的胸口和衣服一样冰冷了，在左腋窝里，他摸出了一个硬硬的纸包，递到那个同志的手里。
4个月前
1个回答
我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
8个月前
1个回答
人体细胞的基本结构是（ ）
9个月前
1个回答
请阅读以下新闻素材，写一则一百字左右的新闻短评。 《阿凡达》
10个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
What is your favorite______of sports clothing?
1年前
悬赏5滴雨露
1个回答
Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.038 s. - webmaster@yulucn.com