Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求

Answer 1

解题思路：根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值．

∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，

∴a+b=m，ab=2m-2，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，

而a²+b²=（a+b）²-2ab，c=5，

∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，

即：m²-2（2m-2）=25

解得，m₁=7，m₂=-3，

∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．

∴a+b=m＞0，m=-3不合题意，舍去．

∴m=7，

当m=7时，原方程为x²-7x+12=0，

解得，x₁=3，x₂=4，

不妨设a=3，则sinA=[a/c]=[3/5]，

∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为[3/5]．

点评：

本题考点： 锐角三角函数的定义；根与系数的关系；勾股定理．

考点点评： 本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．