解题思路:(1)先求出f′(x)f′(x)max=f′(1)=0,从而f′(x)≤0,得函数f(x)在定义域内递减;
(2)
f(p+1)−f(q+1)
p−q
=
f(p+1)−f(q+1)
(p+1)−(q+1)
,表示点(p+1,f(p+1))与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,得f′(x)=2ax+lnx+1>1在x∈(2,3)内恒成立,得g(x)在(2,e)递减,在(e,3)递增,得2a≥-[ln2/2],从而求出a的范围.
(1)当a=-[1/2]时,f(x)=-[1/2]x2+xlnx,定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=-x+1+lnx,
令F(x)=f′x),F′(x)=[1−x/x],
当0<x<1时,F′(x)>0,f′(x)在(0,1)递增,
当x>1时,F′(x)<0,f′(x)在(1,+∞)递减,
∴f′(x)max=f′(1)=0,从而f′(x)≤0,
∴函数f(x)在定义域内递减;
(2)
f(p+1)−f(q+1)
p−q=
f(p+1)−f(q+1)
(p+1)−(q+1),
表示点(p+1,f(p+1))与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,
又1<p<2,1<q<2,2<p+1<3,2<q+1<3,
即函数f(x)的图象在区间(2,3)上的任意两点连线的斜率大于1,
即f′(x)=2ax+lnx+1>1在x∈(2,3)内恒成立,
等价于当x∈(2,3)时,2a>-[lnx/x]恒成立,
设g(x)=-[lnx/x],x∈(2,3),则g′(x)=[lnx−1
x2,
若g′x)=
lnx−1
x2=0,则x=e,
当2<x<e时,g′(x)<0,g(x)在(2,e)递减,
当e<x<3时,g′(x)>0,g(x)在(e,3)递增,
又g(2)=-
ln2/2]>g(3),
∴2a≥-[ln2/2],
∴a≥-[ln2/4].
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,参数的应用,是一道综合题.