已知函数f(x)=ax2+xlnx(a∈R).

1个回答

  • 解题思路:(1)先求出f′(x)f′(x)max=f′(1)=0,从而f′(x)≤0,得函数f(x)在定义域内递减;

    (2)

    f(p+1)−f(q+1)

    p−q

    =

    f(p+1)−f(q+1)

    (p+1)−(q+1)

    ,表示点(p+1,f(p+1))与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,得f′(x)=2ax+lnx+1>1在x∈(2,3)内恒成立,得g(x)在(2,e)递减,在(e,3)递增,得2a≥-[ln2/2],从而求出a的范围.

    (1)当a=-[1/2]时,f(x)=-[1/2]x2+xlnx,定义域为(0,+∞),

    ∴f′(x)=-x+1+lnx,

    令F(x)=f′x),F′(x)=[1−x/x],

    当0<x<1时,F′(x)>0,f′(x)在(0,1)递增,

    当x>1时,F′(x)<0,f′(x)在(1,+∞)递减,

    ∴f′(x)max=f′(1)=0,从而f′(x)≤0,

    ∴函数f(x)在定义域内递减;

    (2)

    f(p+1)−f(q+1)

    p−q=

    f(p+1)−f(q+1)

    (p+1)−(q+1),

    表示点(p+1,f(p+1))与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,

    又1<p<2,1<q<2,2<p+1<3,2<q+1<3,

    即函数f(x)的图象在区间(2,3)上的任意两点连线的斜率大于1,

    即f′(x)=2ax+lnx+1>1在x∈(2,3)内恒成立,

    等价于当x∈(2,3)时,2a>-[lnx/x]恒成立,

    设g(x)=-[lnx/x],x∈(2,3),则g′(x)=[lnx−1

    x2,

    若g′x)=

    lnx−1

    x2=0,则x=e,

    当2<x<e时,g′(x)<0,g(x)在(2,e)递减,

    当e<x<3时,g′(x)>0,g(x)在(e,3)递增,

    又g(2)=-

    ln2/2]>g(3),

    ∴2a≥-[ln2/2],

    ∴a≥-[ln2/4].

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,参数的应用,是一道综合题.