Question

（1）用综合法证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且

Answer 1

证明：（1）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，

相加可得 2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），

∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；

（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

∴a+b+c≤0，

而a+b+c=（x²-2y+[π/2]）+（y²-2z+[π/3]）+（z²-2x+[π/6]）

=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，

∴a+b+c＞0，

这与a+b+c≤0矛盾，

故假设是错误的，

故a、b、c中至少有一个大于0．