Question

已知椭圆x22+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．

Answer 1

解题思路：（1）直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求得结论；

（2）利用点差法，即可求弦AB的中点M的轨迹方程；

（3）设直线方程代入椭圆方程，确定AB的垂直平分线NG的方程，可得点G横坐标的取值范围．

（1）直线l的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得3x²+4x=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1＝0，x2＝

4

3

∴|AB|=

2|x1−x2|＝

4

3

2；

（2）设弦AB的中点M的坐标为（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

依题意有

x12

2+y12＝1

x22

2+y22＝1

x1+x2＝2x

y1+y2＝2y

y1−y2

x1−x2＝

y

x+1，化简可得x²+x+2y²=0…（7分）

（3）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），

代入

x2

2+y2＝1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．

∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．

记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），则x1+x2＝−

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．