Question

已知函数f（x）=ex-kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|

Answer 1

（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．

由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），

由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．

（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．

于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．

由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．

①当k∈（0，1]时，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．

此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．

故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．

②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．

当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）

f′（x） - 0 +

f（x） 单调递减 极小值 单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．

依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．

综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．

（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，∴F（x₁）F（x₂）=ex1+x2+e?(x1+x2)+ex1?x2+e?x1+x2＞ex1+x2+e?(x1+x2)+2＞ex1+x2+2，

∴F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，F（2）F（n-1）＞eⁿ⁺¹+2，F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2．

由此得，[F（1）F（2）F（n）]²=[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）][F（n）F（1）]＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ

故F(1)F(2)F(n)＞(en+1+2)

n

2，n∈N^*．