解题思路:(1)证明:连接OD,由AO=BO,BD=CD得OD为△ACB的中位线,根据三角形中位线的性质得OD∥AC,根据平行线的性质由DE⊥AC得到DE⊥OD,于是根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°,则可判断△ABC为等腰三角形,而∠BAC=60°,所以△ABC为等边三角形,所以∠C=60°,AB=BC,在Rt△CED中,利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=BD=6,则AB=12,于是有AO=6.
(1)
证明:如图,连接OD,
∵AO=BO,BD=CD,
∴OD为△ACB的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
又∴BD=CD,
∴△ABC为等腰三角形,
∵∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠C=60°,AB=BC,
∴∠CDE=30°,
在Rt△CED中,
∵CE=3,∠CDE=30°,
∴CD=BD=6,
∴AB=12,
∴AO=6,即⊙O的半径等于6.
点评:
本题考点: 切线的判定;含30度角的直角三角形;圆周角定理.
考点点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.