解题思路：（Ⅰ）由已知得x＞-1，f′（x）=ln（x+1）+1，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）x=0时，f（x）=ax恒成立；x＞0时，问题等价于a≤h（x）min，x＞0，h′（x）=
x−ln(x+1)
x
2
，x＞0，记g（x）=x-ln（x+1），x≥0，g′（x）=[x/1+x]＞0，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
（Ⅰ）∵f（x）=（x+1）ln（x+1），
∴x＞-1，f′（x）=ln（x+1）+1，
由f′（x）=0，得x=[1/e]-1，
当x∈（-1，[1/e]-1）时，f′（x）＜0；x∈（[1/e]-1，+∞），f′（x）＞0．
∴f（x）极小值=f（[1/e−1）=-
1
e]，
∴f（x）的最小值为-[1/e]．
（Ⅱ）x≥0时，f（x）≥ax恒成立
当x=0上式取等号显然恒成立
当x＞0，问题等价于a≤h（x）min，x＞0，
其中h（x）=
f(x)
x=
(x+1)ln(x+1)
x，
h′（x）=
x−ln(x+1)
x2，x＞0，
记g（x）=x-ln（x+1），x≥0
g′（x）=[x/1+x]＞0，x＞0，知g（x）在x＞0上单调递增，
又g（x）在x=0处连续，则g（x）＞g（0）=0，x＞0，
于是有h'（x）＞0，x＞0，知h（x）在x＞0上单调递增
∴h（x）min=
lim
x→0h（x）
=
lim
x→0
(x+1)ln(x+1)
x
=
lim
x→0
x(x+1)
x
=
lim
x→0（x+1）
=1，
∴由a≤h（x）min，得到a的取值范围a∈（-∞，1]．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．