Question

已知直线l被直线l1：2x+y+1=0与l2：x-2y-3=0截得的线段中点恰好为坐标原点．

Answer 1

解题思路：（1）设l₁与l的交点P（a，-2a-1），l₂与l的交点Q（2b+3，b），两者联立，可得Q的坐标，又由其过原点，结合两点式可得l的方程．

（2）假设存在，先求存在时的a的值，求法为：设抛物线上存在两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）关于直线l：x+y=0对称，设l_MN：y=x+t线段MN的中点为A（x₀，y₀），联立直线题意抛物线的方程，可得A的坐标，分析可得，当

a＞

3

4

时，抛物线上存在两点关于直线l：x+y=0对称，反之可得答案．

（1）设l₁与l的交点P（a，-2a-1），l₂与l的交点Q（2b+3，b）

则

a+2b+3＝0

−2a−1+b＝0

∴b=-1，则Q（1，-1），

故l的方程为：x+y=0（6分）

（2）设抛物线上存在两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）关于直线l：x+y=0对称

设l_MN：y=x+t线段MN的中点位A（x₀，y₀）

由

y＝x+t

y＝ax2−1得ax²-x-t-1=0（8分）

△=1+4a（t+1）＞0①

且x^+x^＝

1

ax^x^＝−

t+1

a∴x0＝

1

2ay0＝

1

2a+t∴A(

1

2a，

1

2a+t)（10分）

中点A(

1

2a，

1

2a+t)在直线x+y=0上∴[1/2a+

1

2a+t＝0即t＝−

1

a]代入①得：a＞

3

4

即当a＞

3

4时，抛物线上存在两点关于直线l：x+y=0对称，

故抛物线上不存在两点关于直线l：x+y=0对称时，a≤

点评：

本题考点： 直线的一般式方程；与直线关于点、直线对称的直线方程．

考点点评： 本题有一定难度，尤其在解（2）时，注意从反面下手，得到结论后，再回归题目本意，从而得到答案．