Question

与中值定理有关的一道证明题设f(x),g(x)在(a,b)内可导,且f'(x)g(x)≠g(x)f'(x)求证f(x)在

Answer 1

f'(x)g(x)≠g(x)f'(x)一句恐怕应该改成f'(x)g(x)≠f(x)g'(x)吧?

反证,若在f的两零点e1,e2内g无零点,令:

F(x)=f(x)/g(x),

易知F(e1)=F(e2)=0,由洛尔中值定理,存在e使得:

F'(e)=0,即(f'(e)g(e)-f(e)g'(e))/g^2(e)=0,由假设分母不为零,约去得:

f'(e)g(e)-f(e)g'(e)=0,此与题设相矛盾.

故g必有零点.