三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线,且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半.作△ABC的外接圆,连结并延长BO交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM设AM交OH于点G’∵ BD是直径∴ ∠BAD、∠BCD是直角∴ AD⊥AB,DC⊥BC∵ CH⊥AB,AH⊥BC∴ DA//CH,DC//AH∴ 四边形ADCH是平行四边形∴ AH=DC∵ M是BC的中点,O是BD的中点∴ OM= 1/2DC∴ OM= 1/2AH∵ OM//AH∴ △OMG’ ∽△HAG’∴AG’/MG’=AH/MO=2/1∴ G’是△ABC的重心∴ G与G’重合∴ O、G、H三点在同一条直线上
∴△OMG ∽△HAG,OM/AH=1/2∴OG/HG=1/2