Question

试用单调性的定义讨论函数y=x+[1/x]的单调区间，并画出该函数草图．

Answer 1

解题思路：先确定函数的定义域：{x|x≠0}，在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论．任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，取x₁、x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，从而得出函数的单调区间．

∵定义域：{x|x≠0}，

∴在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论．

任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，

则f（x₂）-f（x₁）

=x₂+[1

x2-x₁-

1

x1

=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）（1-

1

x1x2 ），

要确定此式的正负只要确定1-

1

x1x2 的正负即可．

（1）当x₁、x₂∈（0，1）时，1-

1

x1x2＜0，

∴f（x₂）-f（x₁）＜0，为减函数，

（2）当x₁、x₂∈（1，+∞）时，1-

1

x1x2＞0，

∴f（x₂）-f（x₁）＞0，为增函数．

同理可求（3）当x₁、x₂∈（-1，0）时，为减函数；

（4）当x₁、x₂∈（-∞，-1）时，为增函数．

画出函数y=x+

1/x]的图象，如图示：

．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数图象的作法．

考点点评： 本题考查了函数的单调性的定义，考查函数的图象，是一道基础题．