解题思路：利用二倍角公式化简函数的解析式为-cos2x，可得函数为偶函数，再求出函数的单调区间，从而得出结论．
由于函数y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin2x-cos2x=-cos2x，故函数为偶函数，
故排除A、B．
令 2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得 kπ-[π/2]≤x≤kπ，k∈z，故函数的减区间为[kπ-[π/2]，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ≤x≤kπ+[π/2]，k∈z，故函数的增区间为[kπ，kπ+[π/2]]，k∈z，
故选C．
点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性．
考点点评： 本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．