Question

设圆M：x2+y2=8，将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的[1/2]，对应的横坐标不变，得到曲线C．经过点M（2，1），

Answer 1

解题思路：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理后就得到曲线C的方程．

（2）由题设条件可知直线l的方程为

y＝

1

2

x+m

．联立方程组后根据直线l与椭圆交于A、B两个不同点可知△＞0，由此能够推导出m的取值范围．

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可．

（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理得曲线C的方程为

x2

8+

y2

2＝1．

它表示一个焦点在x轴上的椭圆．

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又KOM＝

1

2，

∴直线l的方程为y＝

1

2x+m．

由

y＝

1

2x+m

x2

8+

y2

2＝1.∴x2+2mx+2m2−4＝0，

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，

解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k1＝

y1−1

x1−2，k2＝

y2−1

x2−2，由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4.k1+k2＝

y1−1

x1−2，+

y2−1

x2−2＝

(y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)

(x1−2)(x2−2)=

(

点评：

本题考点： 椭圆的应用；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题综合考查椭圆和直线的位置关系，难度较大，解题时要注意公式的灵活运用，仔细审题，避免不必要的错误．