解题思路:(1)先求函数的导数,利用二次函数的最小值的为1,解方程即可求得实数a的值;
(2)将题中条件:“两个函数图象有且只有一个公共点,”等价于“h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)图象与x轴只有一个交点”,利用导数求得函数的极值,最后要使h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)图象与x轴只有一个交点,得到关于a的不等关系,从而求实数a的取值范围.
(1)f(x)=2x3-3(a-1)x2+4x+6a,求导得
f′(x)=6x2-6(a-1)x+4≥
4×6×4−36(a−1)2
4×6=4−
3
2(a−1)2=1,
∴a=1±
2,
(2)∵g(x)=4x+6的图象是一条直线,
因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程f(x)=g(x)的解的个数,
所以只需研究函数h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)图象与x轴关系.
h′(x)=6x2-6(a-1)x=6x[x-(a-1)],
①当a=1时,h′(x)=6x2≥0,h(x)在R上单调递增,则h(x)与x轴只有一个交点;
②当a≠1时,h′(x)=0有两根x1=0,x2=a-1,
而h(x1)=6(a-1),h(x2)=(a-1)[6-(a-1)2],
∵h(x)与x轴只有一个交点,则需h(x1)h(x2)>0,
∴6(a-1)(a-1)[6-(a-1)2]>0,解得1-
6<a<1+
6且a≠1,
由①②可知实数a的取值范围为(1-
6,1+
6).
点评:
本题考点: 导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,转化思想.属中档题.