已知函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+4x+6a(a∈R),g(x)=4x+6.

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  • 解题思路:(1)先求函数的导数,利用二次函数的最小值的为1,解方程即可求得实数a的值;

    (2)将题中条件:“两个函数图象有且只有一个公共点,”等价于“h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)图象与x轴只有一个交点”,利用导数求得函数的极值,最后要使h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)图象与x轴只有一个交点,得到关于a的不等关系,从而求实数a的取值范围.

    (1)f(x)=2x3-3(a-1)x2+4x+6a,求导得

    f′(x)=6x2-6(a-1)x+4≥

    4×6×4−36(a−1)2

    4×6=4−

    3

    2(a−1)2=1,

    ∴a=1±

    2,

    (2)∵g(x)=4x+6的图象是一条直线,

    因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程f(x)=g(x)的解的个数,

    所以只需研究函数h(x)=f(x)-g(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)图象与x轴关系.

    h′(x)=6x2-6(a-1)x=6x[x-(a-1)],

    ①当a=1时,h′(x)=6x2≥0,h(x)在R上单调递增,则h(x)与x轴只有一个交点;

    ②当a≠1时,h′(x)=0有两根x1=0,x2=a-1,

    而h(x1)=6(a-1),h(x2)=(a-1)[6-(a-1)2],

    ∵h(x)与x轴只有一个交点,则需h(x1)h(x2)>0,

    ∴6(a-1)(a-1)[6-(a-1)2]>0,解得1-

    6<a<1+

    6且a≠1,

    由①②可知实数a的取值范围为(1-

    6,1+

    6).

    点评:

    本题考点: 导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,转化思想.属中档题.