已知椭圆
和椭圆
的离心率相同，且点
在椭圆
上.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为椭圆
上一点，过点
作直线交椭圆
于
、
两点，且
恰为弦
的中点。求证：无论点
怎样变化，
的面积为常数，并求出此常数.
（1）椭圆
的方程为
；（2）
的面积为常数
．
试题分析：（1）由题知，
且
，
解这个方程组求得
即可得椭圆
的方程；（2）涉及直线与曲线的关系的问题，多是将直线方程与曲线方程联立再用韦达定理解决.此题中有两个椭圆，将哪个椭圆的方程与直线方程联立？此题意即直线与
的交点的中点在
上，故应将直线方程与
的方程联立由韦达定理得中点坐标，再将中点坐标代入
的方程.然后求出三角形OAB的面积的表达式，再利用前面所得关系式化为一常数即可.
试题解析：（1）由题知，
且
即
，
椭圆
的方程为
； 4分
（2）当直线
的斜率不存在时，必有
，此时
，
5分
当直线
的斜率存在时，设其斜率为
、点
，则
与椭圆
联立，得
，设
，
则
即
8分
又
9分