Question

正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过P作PF⊥CD于点F.

Answer 1

作PG⊥BC于点G

因为 P在对角线AC上,即角平分线AC上

PF⊥CD,PG⊥BC

所以 PG=PF

因为 PE⊥PB

所以 角EPB=90度

因为 角BPG+角EPG=90度

角FPE+角EPG=90度

所以 角FPE=角GPB

在三角形PBG和三角形PEF中

角FPE=角GPB

角PGB=角PFE

PG=PF

所以 三角形PGB全等于三角形PFE

所以 BG=EF

因为 BG=BC-CG=DC-FC=DF

所以 BG=EF=DF

令PA=a,BC=b,那么

BG=a/√2

AC=√2BC=√2b

PC=AC-PA=√2b-a

在正方形PFCG中,CF=PC/√2=(√2b-a)/√2=b-a/√2

CE=CF-EF=b-a/√2-a/√2=b-√2a

所以√2CE=√2b-2a

=AC-2PA

=PC-PA

所以PA=PC+√2CE