Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、

Answer 1

解题思路：（1）根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似．

（2）由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四边形PEQF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：S_△PEF=[1/2]S_{平行四边形PEQF}，可先求出△AQD的面积，然后根据△AEP与△ADQ相似，用相似比的平方即面积比求出△APE的面积，同理可求出△DPF的面积，进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式，也就能得出关于S，x的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值即对于的x的值．

（3）△ADQ中，AD长为定值，因此要使△ADQ的周长最小，AQ+QD需最小，可根据轴对称图形的性质和两点间线段最短为依据来确定Q点的位置．

（1）证明：∵PE∥DQ

∴△APE∽△ADQ；

（2）同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=[1/2]S_{平行四边形PEQF}，

根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，

∴

S△AEP

S△AQD=(

x

3)2，

S△DPF

S△ADQ=(

3−x

3)2，

∵S_△AQD=[1/2]AD×AB=[1/2]×3×2=3，

得S_△PEF=[1/2]S_{平行四边形PEQF}

=[1/2]（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）

=[1/2]×[3-(

x

3)2×3-(

3−x

3)2×3]

=[1/2]（-[2/3]x²+2x）

=-[1/3]x²+x

=-[1/3]（x-[3/2]）²+[3/4]．

∴当x=[3/2]，即P是AD的中点时，S_△PEF取得最大值[3/4]．

（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识．