Question

f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)

Answer 1

呵呵其实这道题比较简单.

因为f(x)在R上连续,包括零点

所以

①f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x) 如此数学归纳法就有f(nx)=nf(x).就有f(n)=nf(1) （注意这里的n是整数）

② 由上面的道理可以得到f(1/nx)=(1/n)f(x) (这里n取整数来证明,你应该会的,效仿上面)

③在②中令x等于m ,就有 f(m/n)=(1/n)f(m) ,因为m是整数 所以可以写成 f(m)=mf(1).

最后等量代换下 就出来了 把m/n看成x 因为一切R都可以写成有理数 此时该式子对一切有理数成立 再由连续性就知道了对于R都成立