Question

设s，t为正整数，两直线l1：t2sx+y−t＝0与l2：t2sx−y＝0的交点是（x1，y1），对于正整数n（n≥2）

Answer 1

解题思路：（1）根据两直线

l

1

：

t

2s

x+y−t＝0与

l

2

：

t

2s

x−y＝0

的交点是（x₁，y₁），对于正整数n（n≥2），过点（0，t）和（x_n-1，0）的直线与直线l₂的交点记为（x_n，y_n），可得

x

1

＝s，

x

n

＝

2s

x

n−1

2s+

x

n−1

，取倒数，即可得到

{

1

x

n

}

为等差数列，且首项为[1/s]，公差为[1/2s]，从而可求数列{x_n}通项公式；

（2）根据数列{x_nx_n+1}通项的特点，裂项求和，即可得到结论．

（1）依题意，∵两直线l1：

t

2sx+y−t＝0与l2：

t

2sx−y＝0的交点是（x₁，y₁），对于正整数n（n≥2），过点（0，t）和（x_n-1，0）的直线与直线l₂的交点记为（x_n，y_n），

∴x1＝s，xn＝

2sxn−1

2s+xn−1

∴[1

xn＝

1

xn−1+

1/2s(n≥2)

∴{

1

xn}为等差数列，且首项为

1

s]，公差为[1/2s]

∴[1

xn＝

1/s+(n−1)•

1

2s]

∴xn＝

2s

n+1

（2）xnxn+1＝

4s2

(n+1)(n+2)＝4s2(

1

n+1−

1

n+2)

∴Sn＝4s2[(

1

2−

1

3)+(

1

3−

1

4)+…+(

1

n+1−

1

n+2)]=4s2(

1

2−

1

n+2)＝

2ns2

n+2

点评：

本题考点： 数列与解析几何的综合；数列的求和；两条直线的交点坐标．

考点点评： 本题考查直线的交点、数列通项的求法，考查数列的求和，综合性较强，确定数列的通项是关键．