Question

已知关于x的不等式k•4 x -2 x+1 +6k＜0

Answer 1

（1）由已知得，2和3是相应方程kt ²-2t+6k=0的两根且k＞0，k=

2

5

（2）∵A⊇{x|1＜x＜log ₂3}，∴A⊇{x|2＜t＜3}且A中的元素t＞0

令f（t）=kt ²-2t+6k，

当k＞0时，则有 f（2）≤0，f（3）≤0

解得0＜k≤

2

5

当k=0时，A={t|t＞0}显然满足条件

当k＜0时，由于x=

1

k ＜0 ，则只要

f(2)≤0

f(3)＜0 ，此时可得k＜0

综上可得a ≤

2

5

（3）对应方程的△=4-24k ²，令f（t）=kt ²-2t+6k

则原问题等价于△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥0， 2≤

1

k ≤3

又k＞0，∴k≥

6

6

由 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤

1

k ≤3解得

2

5 ≤k≤

1

2

综上，符合条件的k的取值范围是[

2

5 ，+∞）

（4）当A∩{t|2＜t＜3}=∅时可得

若k=0，A={t|t＞0}，符合条件

若k＞0可得

f(2)≥0

f(3)≥0

1

k ≤2 或

f(2)≥0

f(3)≥0

1

k ≥3

解不等式组可得， k≥

1

2 或k不存在

即k ≥

1

2 时，A∩{t|2＜t＜3}=∅

0＜k＜

1

2 时A∩{t|2＜t＜3}≠∅

若k＜0可得，结合二次函数的图象可知A∩{t|2＜t＜3}≠∅

综上可得， k＜

1

2