Question

在数列{a n }中，若a 1 ，a 2 是正整数，且a n =|a n-1 -a n-2 |，n=3，4，5，…，则称

Answer 1

（Ⅰ）a ₁=3，a ₂=1，a ₃=2，a ₄=1，a ₅=1，a ₆=0，a ₇=1，a ₈=1，a ₉=0，a ₁₀=1．（答案不惟一）

（Ⅱ）因为在绝对差数列{a _n}中a ₂₀=3，a ₂₁=0．所以自第20项开始，该数列是a ₂₀=3，a ₂₁=0，a ₂₂=3，a ₂₂=3，a ₂₄=0，a ₂₅=3，a ₂₆=3，a ₂₇=o，

即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n→∞时，a _n的极限不存在．

当n≥20时，b _n=a _n+a _n+1+a _n+2=6，

所以

lim

n→∞ b n =6

（Ⅲ）证明：根据定义，数列{a _n}必在有限项后出现零项．证明如下：

假设{a _n}中没有零项，由于a _n=|a _n-1-a _n-2|，

所以对于任意的n，都有a _n≥1，从而

当a _n-1＞a _n-2时，a _n=a _n-1-a _n-2≤a _n-1-1（n≥3）；

当a _n-1＜a _n-2时，a _n=a _n-2-a _n-1≤a _n-2-1（n≥3）

即a _n的值要么比a _n-1至少小1，要么比a _n-2至少小1．

令 C n =

a 2n-1 ( a 2n-1 ＞ a 2n )

a 2n ( a 2n-1 ＜ a 2n ) n=1，2，3，，

则0＜C _A≤C _n-1-1（n=2，3，4，）．

由于C ₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项C ₁＜0，这与C _n＞0（n=1，2，3，，）

矛盾．

从而{a _n}必有零项．

若第一次出现的零项为第n项，记a _n-1=A（A≠0），

则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，

即

a n+3k =0

a n+3k+1 =A，k=0，1，2，3

a n+3k+2 =A

所以绝对差数列{a _n}中有无穷多个为零的项．