Question

dy/dx=ax+by+c 怎么解微分方程?

Answer 1

1.当b=0时,原方程为dy/dx=ax+c

==>dy=(ax+c)dx

==>y=ax²/2+cx+C (C是积分常数)

故此时,原方程的通解是y=ax²/2+cx+C (C是积分常数)；

2.当b≠0时,先解齐次方程dy/dx=by

∵dy/dx=by ==>dy/y=bdx

==>ln|y|=bx+ln|C| (C是积分常数)

==>y=Ce^(bx)

∴齐次方程dy/dx=by的通解是y=Ce^(bx) (C是积分常数)

∴设dy/dx=ax+by+c的通解为y=C(x)e^(bx) (C(x)是关于x的函数)

∵代入原方程得C'(x)e^(bx)=ax+c

==>C'(x)=(ax+c)e^(-bx)

==>C(x)=-(ax+c)e^(-bx)/b-a/b∫e^(-bx)dx

∴C(x)=-(ax+c)e^(-bx)/b-a/b²e^(-bx)+C （C是积分常数）

∴y=-(ax+c)/b-a/b²+Ce^(bx)

故此时,原方程的通解是y=-(ax+c)/b-a/b²+Ce^(bx) （C是积分常数）