解题思路：（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知△的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；
（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出△ABC为等腰直角三角形；
（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标．
（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=
2．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=
2．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；
（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则
P1M
EM＝
OE
OF＝
1
3，即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1＝
10
3，或x2=-1（舍去）
把x1＝
10
3代入①中可解得，
y1=[13/9]．
∴P1（[10/3]，[13/9]）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得[FN
P2N＝
OE/OF＝
1
3]，即P2N=3FN．
∵P2N=x2，FN=3+y2，
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，
则有x2=3（3+x22-2x2-3），
整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2＝
7
3．
把x2＝
7
3代入②中可解得，
y2＝−
20
9．
∴P2（[7/3]，−
20
9）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（[10/3]，[13/9]）或（[7/3]，−
20
9）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查二次函数的综合运用，其中涉及求抛物线解析式和抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质．