Question

已知函数f（x）的定义域为R,且满足f（x＋2）=-f（x）.若f（x）为奇函数,且当0≤x≤1时,f（x）=1/2x,

Answer 1

∵f（x＋2）=-f（x）

∴f（x+4）=f（x） T=4

因为f（x）为奇函数

∴有f（-x）=-f（x）=f（x+2） 代换t=x-1 有f（1-x）=f（1+x） 对称轴为x=1

∵当0≤x≤1时,f（x）=1/2x,f（x）为奇函数 对称轴为x=1

∴当x∈【-1,1】时,f（x）=1/2x x∈【1,3】时,f（x）=-1/2x+1 又为T=4的周期函数

画图可知：使f（x）=-1/2在〔0,2012〕上的所有x的个数共有 2012/4=503个解.