Question

在椭圆x240+y210=1内有一点M（4，-1），使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程．

Answer 1

解题思路：假设直线AB的方程与椭圆方程联立，消去y得x的方程，利用M是弦AB的中点，建立方程，可求得k的值，验证此时方程的判别式大于0，从而得解．

由题意，直线的斜率存在

设直线的斜率为k，则方程为y+1=k（x-4），与椭圆

x2

40+

y2

10=1联立，

消去y得（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0，

∴x₁+x₂=

32k2+8k

1+4k2

∵M是弦AB的中点，

∴

32k2+8k

1+4k2=8，解得k=1，

此时方程（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0的判别式大于0，从而直线AB与椭圆有两个交点，k=1符合题意．

∴AB的方程是x-y-5=0．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查的重点是椭圆中弦中点问题，解题的关键是假设方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解．