解题思路：（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知 k大于f（x）的极大值，或 k小于f（x）的极小值．
（2）令h（x）=f（x）-1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、
0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．
（3）根据（2）的结论，当x＞1时，
lnx＞
x−1
x+1
，令
x＝
k+1
k
，有
ln
k+1
k
＞
1
2k+1
，可得
n
k＝1
ln
k+1
k
＞
n
k＝1
1
2k+1
，由
ln(n+1)＝
n
k＝1
ln
k+1
k
，证得结论．
（1）当a＝
9
2时，f(x)＝lnx+
9
2(x+1)，定义域是（0，+∞），
求得f′(x)＝
1
x−
9
2(x+1)2＝
(2x−1)(x−2)
2x(x+1)2，令f'（x）=0，得x＝
1
2，或x=2．
∵当0＜x＜
1
2或x＞2时，f'（x）＞0； 当[1/2＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，
1
2]]、（2，+∞）上单调递增，在(
1
2， 2)上单调递减．
∴f（x）的极大值是 f(
1
2)＝3−ln2，极小值是 f(2)＝
3
2+ln2．
∵当x趋于 0时，f（x）趋于-∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，
由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，
k的取值范围是{k|k＞3-ln2，或k＜
3
2+ln2}．
（2）当a=2时，f(x)＝lnx+
2
x+1，定义域为（0，+∞）．
令h(x)＝f(x)−1＝lnx+
2
x+1−1，∵h′(x)＝
1
x−
2
(x+1)2＝
x2+1
x(x+1)2＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数． ①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1； ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，lnx+
2
x+1＞1，即lnx＞
x−1
x+1．
令x＝
k+1
k，则有ln
k+1
k＞
1
2k+1，∴
n
k＝1ln
k+1
k＞
n
点评：
本题考点： 不等式的证明；函数的零点；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识，属于中档题．