Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，求

Answer 1

解题思路：由已知条件可以证明△BED∽△BCA，然后根据其对应边成比例可将DE的长求出来，进而可求出AB的长，根据三角形的面积公式可求出结果．

在△AED中，∵DE⊥AB于E，

又∵DE：AE=1；5，

∴设DE=x，则AE=5x，

由勾股定理，AD²=AE²+ED²=（5x）²+x²=26x²，

∴AD=

26x．

在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，

∴∠DAC=45°．

由勾股定理，AC²+DC²=AD²=26x²，

∴AC=DC=

13x．

在Rt△BED中，∵ED=x，BE=3，

由勾股定BD²=ED²+BE²=x²+3²=x²+9，

∴BD=

x2+9．

在Rt△BED和Rt△BCA中，

∵∠B是公共角，

∠BED=∠BCA=90°，

∴△BED∽△BCA，而AB=3+5x．

∴[ED/AC=

BD

BA]．

即

x

13x=

x2+9

3+5x．

解关于x的方程3+5x=

13•

x2+9，

两边平方得：（3+5x）²=13•（x²+9），

化简得：2x²+5x-18=0，

即（x-1）（2x+9）=0，

∴x₁=2 x₂=-[9/2]．

∵x=ED＞0，

∴x=ED=2，AE=5x=10．

∴AB=AE+BE=10+3=13．

∴S_△ABD=[1/2]ED•AB=[1/2]×2×13=13．

点评：

本题考点： 解直角三角形．

考点点评： 此题考查解直角三角形、直角三角形性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．此题比较难，综合性比较强．