Question

若x,y,z都是正实数,且x^2+y^2+z^2=1,求证yz/x+xz/y+xy/z>=根号3

Answer 1

设m=y/x,y=mx,则m为正实数

x^+m^x^+z^=1

x^=(1-z^)/(m^+1)

设k=yz/x+xz/y+xy/z,k为正实数,则

k=mz+z/m+mx^/z

=z(m+1/m)+m(1-z^)/(z(m^+1))

kz=z^(m+1/m)+m/(m^+1)-mz^/(m^+1)

z^(m+1/m-m/(m^+1))-kz+m/(m^+1)=0

因为此方程式z有解则有

k^-4[m+1/m-m/(m^+1)][m/(m^+1)]>=0

k^>=4[m+1/m-m/(m^+1)]m/(m^+1)

k^>=4(m^4+m^+1)/(m^+1)^

k^>=4[3/4(m^+1)^+1/4(m^-1)^]/(m^+1)^

k^>=3+[(m^-1)/(m^+1)]^

k^>=3

k>=根3或k=3即

yz/x+xz/y+xy/z>=根3

(注:^表示平方,^4表示4次方)